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VALIDATION NUMÉRIQUE - SOURCES D'ERREURS

SOURCES D'ERREURS DANS LA SIMULATION NUMÉRIQUE

Les sources d'erreurs sont nombreuses et multiples.

Nous répertorions ici les principales en suivant la logique d'implémentation pour la résolution d'une équation par un calculateur.


Instabilités physiques :

Le phénomène étudié est par nature instable. Ce sont par exemple les cas d’écoulements d’eau dans des conduits, de prévision météorologique, de réactions chimiques oscillantes, d’oscillations auto-entretenues en radio-électricité, de régulation automatique…


Instabilités mathématiques :
Les instabilités mathématiques sont inhérentes au modèle. Inévitablement, elles vont créer des difficultés et des perturbations dans le calcul et dans la simulation numérique. Ce sont par exemple les systèmes non-linéaires de la théorie des systèmes dynamiques…(sensibilité aux conditions initiales).

                   


Instabilités algorithmiques :

La traduction du modèle mathématique en algorithmes numériques peut générer des instabilités au moment du choix des paramètres numériques, notamment lors de phase d’approximations ou de discrétisation (pas temporel, maillage…).

                   


Instabilités à l'implémentation et à l'exécution du code :

La traduction de l’algorithme en code (avec le choix d’un langage de programmation tel que Fortran, C, Ada…) est une autre étape importante qui influence la qualité du calcul final. Les influences de la compilation et de l’optimisation sont ici considérées

De plus, l’ordinateur, avec la représentation en virgule flottante, va générer lui même des instabilités, conséquence de la perte de précision.


Exemple de calcul faux :

Soit à calculer   r   =  9x4 - y4 + 2y2
Pour les valeurs : 

x   = 10.864  

y   = 18.817    

                                                    

Les résultats sont :            

sur CRAY   r = 3,073 364 496 2 10-8
sur VAX en SP  r = 0
Arithmétique DP I3E   r = 2,000 000 (arrondi au plus près, vers 0, vers -¥)
Arithmétique DP I3E     r = -14,(arrondi vers +¥)

..Alors que le vrai résultat est 1


                                                                xx